Formation :
Master 2 ATIAM (Acoustique Traitement du Signal Informatique et Musique) UPMC-Paris 6
Unité d’enseignement :
Traitement du Signal Musical
Lieu :
Salle Shannon de l’IRCAM.
Titre :
Introduction aux séries de Volterra et aux systèmes dynamiques non linéaires
Durée :
12h
Enseignants :
Cours (9h) : Thomas Hélie,
TD Volterra/FAUST (3h) : Thomas hélie et Yann Orlarey
Résumé et objectifs :
De nombreux outils de traitement du signal reposent sur la notion de filtre et de fonction de transfert (systèmes linéaires). Pourtant, on rencontre bien souvent des problèmes non linéaires dans des domaines tels que l’acoustique, la mécanique, l’électronique, le traitement de signal, l’automatique, etc. Dans ce cas, la notion de filtre, de convolution et de fonction de transfert ne suffisent plus. Comment traiter le problème ?
Partie 1 (9h) :
Les séries de Volterra fournissent précisément un outil qui étend le filtrage à un cadre faiblement non linéaire où l’entrée peut être considérée comme une perturbation régulière du système. Elles permettent de traiter correctement des combinaisons de phénomènes impliquant des distorsions et de la mémoire, pour un système stable autour d’un point d’équilibre.
Après avoir introduit l’outil, nous donnerons une méthode efficace de résolution des problèmes non linéaires, qui permet aussi de les analyser et des les simuler numériquement. Cette méthode est illustrée par des exemples concrets donnant des solutions adaptées au temps réel. Cette partie s’achève par la réalisation d’une application audio en langage FAUST.
Partie 2 (3h) :
La seconde partie s’intéresse au cas plus général de systèmes « fortement non linéaires » qui peuvent présenter des régimes variés et des bifurcations (point d’équilibre, oscillations, chaos, etc). On introduit des concepts clefs et des outils de base pour leur analyse, illustrés dans le cas de systèmes à temps discret.
Cette deuxième partie est complétée par un cours d’ouverture (temps continu et systèmes passifs) dans l’Unité d’Enseignement des Projets Acoustique/Musique (UE PAM)
Evaluation :
Projet avec compte-rendu.
Plan détaillé du cours :
Partie 1 (9h) : Introduction aux séries de Volterra
Préambule
1. Domaine temporel
1.1 Définition des séries de Volterra
1.2 Exemples
1.3 Convergence
1.4 Noyaux temporels et unicité
2. Domaine de Laplace
2.1. Rappels sur la transformée de Laplace
2.2. Noyaux de transfert
3. Lois de composition de systèmes
3.1 Somme
3.2 Produit
3.3 Cascade
4. Exercices
4.1 Cas d’une équation différentielle et méthode de résolution
(a) Principe du système annulateur
(b) Calcul des noyaux de transfert
(c) Réalisation en filtre et non-linéarités instantanée
(d) Simulation avec anti-repliement
4.2 Cas d’une équation aux dérivées partielles
(a-d) idem
5. Application : simulation d’un filtre Moog
énoncé pdf ci-joint
(projet avec compte-rendu évalué)
Partie 2 (3h) : Introduction aux systèmes dynamiques non linéaires à temps discret
Préambule
1. Représentation d’état
1.1 Exemple du pendule
1.2 Définition (temps continu)
1.3 Définition (temps discret)
2. Systèmes non linéaires à temps discret
2.1 Exemples
a) Cas linéaire
b) Fonction logistique et illustration numérique
2.2 Point d’équilibre
a) Définition
b) Stabilité de Lyapunov, stabilité asymptotique, bassin d’attraction
c) Analyse de la stabilité
d) Exemple (fonction logistique)
2.4 Orbites périodiques
a) Définition et stabilité
b) Exemple (fonction logistique)
2.5 Caractérisation de la stabilité d’une trajectoire et exposants de Lyapunov
2.6 Aspects principaux du chaos